Факториал

Факториал

ЧТО ТАКОЕ ФАКТОРИАЛ

Для нахождения факториала нужно умножить все целые числа от выбранного нами числа до 1.

Факториал обозначается символом «!»

Пример факториалов:

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Обычно говорят 4! как «факториал четырех».

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Можно легко рассчитать факториал, зная значение факториала предыдущего числа:

Как найти факториал

Можно это записать в виде таблицы:

n n!
1 1 1 1
2 2 x 1 = 2 x 1! = 2
3 3 x 2 x 1 = 3 x 2! = 6
4 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3! = 24
5 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 x 4! = 120
6 и так далее и так далее

Для точного определения факториала любого числа следует воспользоваться таблицей факториалов

  • Чтобы вычислить 6!, нужно 5!=120 умножить на 6, получается 720
  • Чтобы вычислить 8!, нужно 7!=5040 умножить на 8, получается 40.320
Пример:

9! равно 362.880. Попробуйте посчитать 10!
10! = 9!х10
10! = 362.880 х 10 = 3.628.800

ФОРМУЛА ФАКТОРИАЛА

Существует правило как найти n факториал:

n! = n × (n - 1)!

Которое означает:
"факториал любого числа - это число, умноженное на факториал предыдущего целого числа"
Итак, 12! = 12 × 11!, ... и 100! = 100 × 99!, и т. д.

ФАКТОРИАЛ 0

Это очень интересная тема. Принято, что 0! = 1. А почему?

Никакое умножение чисел не приводит к 1, но давайте проследим факториалы в обратном порядке, скажем, от 4!:

Факториал нуля

И во многих задачах 0! = 1 просто имеет смысл.

ФАКТОРИАЛ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для чисел меньших нуля?

Нет. Факториалы для таких чисел не определены.

Почему? Легко объяснить на примере.

Пример

Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6 и спускаемся вниз:
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(поэтому 0! = 1)
(−1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = ой, деление на ноль не определено

И с этого момента все целочисленные факториалы не определены.

ФАКТОРИАЛ ДРОБНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для таких чисел, как 0,4 или −8,116?

Да мы можем! Но нам нужно углубиться в тему под названием Гамма-функция, которая выходит за рамки этой страницы.

И они могут быть отрицательными (кроме целых чисел).

Вот несколько значений дробных факториалов:

(-1/2)! √π
(1/2)! (1/2)√π
(3/2)! (3/4)√π
(5/2)! (15/8)√π

ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Факториалы незаменимы для вычисления количества перестановок, сочетаний и размещений.

Пример:

Сколько существует разных способов, с помощью которых 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим ?
Список довольно длинный, если 7 человек обозначим как a, b, c, d, e, f и g, то список включает:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, ... и т. д.
Формула для расчета: 7!/(7−3)! = 7!/4!
Выпишем умножение полностью:
(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1) = 7 × 6 × 5
Пояснение: 4 × 3 × 2 × 1 сокращено, т.к. они встречаются в числителе и знаменателе, и осталось только 7 × 6 × 5 . получаем:
7 × 6 × 5 = 210
Итак, есть 210 различных способов, которыми 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим.

Решено!

Пример:

Что такое 100! / 98!
Используя наши знания из предыдущего примера, мы можем сразу перейти к следующему:
100!/98! = 100 × 99 = 9900

Другие примеры задач с факториалом и их решение на странице решение факториалов.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ

70! приблизительно 1,197857 ... x 10100 , что чуть больше, чем в Googol (цифра 1, за которой следует сотня нулей).

100 факториал: 100! приблизительно 9,3326215443944152681699238856 x 10157

200 факториал: 200! приблизительно 7,8865786736479050355236321393 x 10374

Полезные материалы по теме