4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Факториал
ЧТО ТАКОЕ ФАКТОРИАЛ
Для нахождения факториала нужно умножить все целые числа от выбранного нами числа до 1.
Факториал обозначается символом «!»
Пример факториалов:
Обычно говорят 4! как «факториал четырех».
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА
Можно легко рассчитать факториал, зная значение факториала предыдущего числа:
Можно это записать в виде таблицы:
| n | n! | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 x 1 | = 2 x 1! | = 2 |
| 3 | 3 x 2 x 1 | = 3 x 2! | = 6 |
| 4 | 4 x 3 x 2 x 1 | = 4 x 3! | = 24 |
| 5 | 5 x 4 x 3 x 2 x 1 | = 5 x 4! | = 120 |
| 6 | и так далее | и так далее |
Для точного определения факториала любого числа следует воспользоваться таблицей факториалов
- Чтобы вычислить 6!, нужно 5!=120 умножить на 6, получается 720
- Чтобы вычислить 8!, нужно 7!=5040 умножить на 8, получается 40.320
Пример:
9! равно 362.880. Попробуйте посчитать 10!
10! = 9!х10
10! = 362.880 х 10 = 3.628.800
ФОРМУЛА ФАКТОРИАЛА
Существует правило как найти n факториал:
n! = n × (n - 1)!
Которое означает:
"факториал любого числа - это число, умноженное на факториал предыдущего целого числа"
Итак, 12! = 12 × 11!, ... и 100! = 100 × 99!, и т. д.
ФАКТОРИАЛ 0
Это очень интересная тема. Принято, что 0! = 1. А почему?
Никакое умножение чисел не приводит к 1, но давайте проследим факториалы в обратном порядке, скажем, от 4!:
И во многих задачах 0! = 1 просто имеет смысл.
ФАКТОРИАЛ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Можем ли мы найти факториалы для чисел меньших нуля?
Нет. Факториалы для таких чисел не определены.
Почему? Легко объяснить на примере.
Пример
Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6 и спускаемся вниз:
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(поэтому 0! = 1)
(−1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = ой, деление на ноль не определено
И с этого момента все целочисленные факториалы не определены.
ФАКТОРИАЛ ДРОБНОГО ЧИСЛА
Можем ли мы найти факториалы для таких чисел, как 0,4 или −8,116?
Да мы можем! Но нам нужно углубиться в тему под названием Гамма-функция, которая выходит за рамки этой страницы.
И они могут быть отрицательными (кроме целых чисел).
Вот несколько значений дробных факториалов:
| (-1/2)! | √π |
| (1/2)! | (1/2)√π |
| (3/2)! | (3/4)√π |
| (5/2)! | (15/8)√π |
ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРИАЛА
Факториалы незаменимы для вычисления количества перестановок, сочетаний и размещений.
Пример:
Сколько существует разных способов, с помощью которых 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим ?
Список довольно длинный, если 7 человек обозначим как a, b, c, d, e, f и g, то список включает:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, ... и т. д.
Формула для расчета: 7!/(7−3)! = 7!/4!
Выпишем умножение полностью:
(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1) = 7 × 6 × 5
Пояснение: 4 × 3 × 2 × 1 сокращено, т.к. они встречаются в числителе и знаменателе, и осталось только 7 × 6 × 5 . получаем:
7 × 6 × 5 = 210
Итак, есть 210 различных способов, которыми 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим.
Решено!
Пример:
Что такое 100! / 98!
Используя наши знания из предыдущего примера, мы можем сразу перейти к следующему:
100!/98! = 100 × 99 = 9900
Другие примеры задач с факториалом и их решение на странице решение факториалов.
ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ
70! приблизительно 1,197857 ... x 10100 , что чуть больше, чем в Googol (цифра 1, за которой следует сотня нулей).
100 факториал: 100! приблизительно 9,3326215443944152681699238856 x 10157
200 факториал: 200! приблизительно 7,8865786736479050355236321393 x 10374