Например, числа 5 и 4 - взаимно простые, потому что число 5 имеет делители 1 и 5, а делители четверки: 1, 2 и 4. Общий делитель у них – это единица, а значит, они взаимно просты.
По второму определению: наибольший общий делитель чисел 5 и 4 равен 1, НОД(5,4) = 1, а значит они взаимно простые.
Взаимно простые числа
Разберемся, что такое взаимно простые числа. Это такие числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1 или -1. Можно сформулировать и по другому. У взаимно простых чисел наибольший общий делитель (НОД) равен единице.
Взаимно простые числа от 1 до 100
Приведем примеры взаимно простых чисел.
2 и 99,
15 и 16,
28 и 57,
29 и 31,
12 и 1,
59 и 97 и т. д.
Чтобы образовывать взаимно простые числа, должно быть, по крайней мере, два числа.
Как проверить, являются ли взаимно простыми числа
По определению взаимно простых чисел, если числа имеют 1 или -1 в качестве единственного общего множителя, то такие числа будут взаимно простыми.
Решим примеры.
Являются ли взаимно простыми числа:
35 и 40
Решение:
Раскладываем оба числа на простые множители.
Множители первого числа: 35 = 5 х 7.
Множители второго числа: 40 = 2 х 2 х 2 х 5.
Общий множитель данных чисел равен 5. Следовательно, 35 и 40 не являются взаимно простыми.
Раскладываем оба числа на простые множители.
Множители первого числа: 35 = 5 х 7.
Множители второго числа: 40 = 2 х 2 х 2 х 5.
Общий множитель данных чисел равен 5. Следовательно, 35 и 40 не являются взаимно простыми.
77 и 20
Решение:
Множители первого числа: 77= 7 х 11.
Множители второго числа: 20 = 2 х 2 х 5.
НОД чисел 77 и 20 равен единице, а значит эти числа будут взаимно простыми.
Множители первого числа: 77= 7 х 11.
Множители второго числа: 20 = 2 х 2 х 5.
НОД чисел 77 и 20 равен единице, а значит эти числа будут взаимно простыми.
231 и 280
Решение:
При разложении обоих чисел на множители получаем:
231 = 3 х 7 х 11.
280 = 2 х 2 х 2 х 5 х 7.
Наибольший общий делитель этих чисел равен 7, а значит они не взаимно простые.
При разложении обоих чисел на множители получаем:
231 = 3 х 7 х 11.
280 = 2 х 2 х 2 х 5 х 7.
Наибольший общий делитель этих чисел равен 7, а значит они не взаимно простые.
Свойства взаимно простых чисел
Свойство 1: Число 1 взаимно простое с каждым числом.
Свойство 2: Все простые числа взаимно просты между собой.
Поскольку каждое простое число имеет только два делителя: 1 и само число, единственным общим делителем двух простых чисел будет 1. Например, 11 и 17 - это два простых числа. Множители 11 равны 1, 11, а делители 17 равны 1, 17. Единственный общий делитель равен 1 и, следовательно, они взаимно просты.
Свойство 3: Любые два последовательных числа всегда взаимно просты.
Рассмотрим любые два последовательных числа, например, 2 и 3, 3 и 4 или 14 и 15. У всех этих чисел общий делитель – это единица.
Свойство 4: Сумма любых двух взаимно простых чисел всегда взаимно проста с их произведением.
2 и 3 взаимно просты. Их сумма равна 5 (2+3), а произведение – 6 (2х3). Следовательно, числа 5 и 6 взаимно просты.
Решение примеров.
Являются ли взаимно простыми числа 21 и 24
21 и 24 не являются взаимно простыми числами, потому что имеют множитель равный 3. ( 21 = 3 х 7, 24 = 2 х 2 х 2 х 3).
Являются ли взаимно простыми числа 13 и 11
13 и 11 взаимно простые числа, потому что это простые числа (свойство 2).
Являются ли взаимно простыми числа 17 и 18
17 и 18 взаимно простые числа, потому что это два последовательных числа (свойство 3).
В чем разница между простыми и взаимно простыми числами?
Простое число определяется как число, которое не имеет множителя, кроме 1 и самого себя.
Но взаимно простые числа считаются парами, и два числа взаимно просты, если их общий делитель равен только 1. Их НОД равен единице.
Таким образом, взаимно простые числа – это обязательно 2 или более чисел. Составные числа также могут быть взаимно простыми.
Пример
Числа 25 и 26 – это составные числа (25 = 5 х 5, 26 = 2 х 13). Но они взаимно просты, т.к. это последовательные числа (свойство 3).